Перейти к содержимому
EduSave

Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел

ЕГЭ по математике (профильной) · 67 задач · открытый банк ФИПИ

решено верно решено неверно есть решение решение после проверки

До 10 случайных задач только этой темы · до 25 минут. Это тренировка, не полный вариант ЕГЭ/ОГЭ. Проверка ИИ может занять до минуты.

1002FC3На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все…
20FB969Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны. а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн? б)…
31187D1Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10 % по сравнению с началом года. В конце 1-го,…
412AE34Из пары натуральных чисел , где , за один ход получают пару . а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары пару, большее число в которой равно 400? б) Можно ли за несколько таких ходов…
51F03D1Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го,…
6262AEAВадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся…
729E10AВ июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом…
82A4168На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 45 и меньше 120. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое…
92DC181Над парами целых чисел проводится операция: из пары (a; b) получается пара (3a+b; 3b-a). а) Можно ли из какой-то пары получить пару (5; 5)? б) Верно ли, что если пара (c; d) может быть получена из…
1030D64CС трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться…
1134A218На доске написано единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: . а) Можно ли…
1237B190Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа - n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала…
1340BED3В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе…
144221BEВклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года.…
154A9559Для чисел A и B, состоящих из одинакового количества цифр, вычисляют S - сумму произведений соответствующих цифр. Например, для чисел A=123 и B=579 получается сумма S=1 5+2 7+3 9=46. а) Существуют ли…
164B81D5На доске написано единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «+» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: . а) Можно ли…
175066E8По окружности в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 12. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли. а) Приведите пример…
1853A300В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по…
195FCD16В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S - целое число. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 15 % по сравнению с…
206066EBВ июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по…
2165F0E4В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по…
2267736BВ июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля…
23686BE7В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по…
24686E6EВ июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 200 000 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по…
256948DBИз пары натуральных чисел (a; b) за один ход можно получить пару (a+2; b-1) или (a-1; b+2) при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара (5; 7). а) Можно ли за 50 таких…
266D1598Призёрами городской олимпиады по математике стали 6 учеников, что составило 5% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?
276D2E6DВ июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по…
286E32ADНа доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 4 и 9 (возможно, только одна из этих цифр). а) Может ли сумма этих чисел быть равна 107? б) Может ли…
296FE223В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года; — с…
3071B1D1В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с…
31724631FВаня написал на доске трёхзначное число A. Петя переписал это число A, вычеркнул из него одну цифру и получил двузначное число B. Коля тоже переписал это число A, вычеркнул из него одну цифру…
327A1CB0В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом…
337B10F3На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454. а) Может ли на доске быть…
347C3FDAНа доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15. а) Может ли наименьшее из этих десяти…
357CA5F3Есть три коробки: в первой коробке 97 камней, во второй - 104, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое…
368381FCЕсть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй - 102, в третьей - 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся.…
378755EEДеревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из…
388B91B1В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по…
39920C72Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S. а) Может ли S быть равной 16 5 6? б)…
409BC08FС трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3. а) Могло ли в результате такой операции получиться число 300? б) Могло…
419C9614На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5120. а) Может ли оказаться, что на доске написано число 230? б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 14? в) Какое…
42A0A7EBВ течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество…
43A3CDCAВ июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1260 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; - с…
44A65127В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что…
45A8EFB6На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810. а) Может ли на доске быть ровно…
46AB0F0CНа доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140. а) Может ли на доске быть 5 чисел? б) Может ли на доске быть 6 чисел? в) Какое…
47AB3CF8По кругу расставлено N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 365. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна. а)…
48AED2BBНа доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15. а) Может ли наименьшее из этих…
49B5D110На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа…
50C690EBВ течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество…