Перейти к содержимому
EduSave

Фигуры на плоскости

ЕГЭ по математике (профильной) · 122 задач · открытый банк ФИПИ

решено верно решено неверно есть решение решение после проверки

До 10 случайных задач только этой темы · до 25 минут. Это тренировка, не полный вариант ЕГЭ/ОГЭ. Проверка ИИ может занять до минуты.

5179D7B4Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 59 и 102 . Найдите бо�ьший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
527C842BВ треугольнике ABC точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно так, что AM:MB=CN:NB=2:3. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается отрезка MN в точке L. а) Докажите, что AB+BC=4AC.…
537E3432Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая…
547EEB3EОкружность с центром O 1 касается оснований BC и AD и боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O 2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB=10, BC=9, CD=30, AD=39. а) Докажите, что…
557FA4FBВ треугольнике ABC угол C равен 90, AB=10, AC= 51. Найдите A.
5680A34CОтрезки AC и BD - диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 41 . Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах.
57813416FОкружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K. а) Докажите, что AE=AK. б) Найдите…
58829956FОкружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С 1 и В 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВ C подобен треугольнику АВ 1 С 1. б) Вычислите длину…
5982F7A1В основании прямой призмы ABC A 1 B 1 C 1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP:PB=1:3, а точка Q - середина ребра A 1 C 1 . Через середину M…
60832C34В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого. б) Пусть O -…
618377A1Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности. а) Докажите, что =2 . б) Найдите расстояние от точки N до прямой AB, если…
62847B0BВ треугольнике ABC угол C равен 90, AB=5, BC=4. Найдите A.
6384E9F2Найдите величину угла ACO, если его сторона CA касается окружности с центром O, отрезок CO пересекает окружность в точке B (см. рисунок), а дуга AB окружности, заключённая внутри этого угла, равна 66…
6486B99AВ квадрате ABCD точки M и N - середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки CM и DN пересекаются в точке K. а) Докажите, что BKM=45 ​ . б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника…
658C8D87Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию , касается её боковой стороны в точке . Луч вторично пересекает окружность в точке , а прямую — в точке , причём , . а) Докажите, что . б) Найдите…
668CB50EОтрезки AC и BD - диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 59 . Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
678D3587В треугольнике сторона равна , угол равен Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
688EBB9FВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания - точки B 1 и C 1, причём B B 1 -…
698F66A4Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С 1 и В 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ 1 С 1 б) Вычислите длину…
70907C53Найдите центральный угол, если он на 28 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
71909839FОкружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и M и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N. а) Докажите, что AM=AN. б) Найдите…
7292699CПериметр треугольника ABC равен 36. Точки E и F — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC. а) Докажите, что AC=9. б) Найдите площадь…
739595A4В треугольнике ABC точки A 1, B 1 и C 1 - середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH - высота, =30, =45. а) Докажите, что точки A 1, B 1, C 1 и H лежат на одной окружности. б) Найдите A 1 H, если…
749B7E69Отрезки AC и BD - диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 130. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
759C6FBBЧетырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 98, угол CAD равен 44. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
76A33A46В треугольнике ABC угол C равен 90, AB=10, BC= 19. Найдите A.
77A7A4ABДве окружности касаются внутренним образом в точке . Вершины и равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая вторично…
78A96557Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ=16, QW=12, угол PWQ - острый. а)…
79A9DCC5Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны и . Найдите бо́льший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
80AA7FF7Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С 1 и В 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВ C подобен треугольнику АВ 1 С 1. б) Вычислите длину…
81AC2684На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC отмечены точки C 1, A 1 и B 1 соответственно, причём A C 1 : C 1 B=21:10, B A 1 : A 1 C=2:3, A B 1 : B 1 C=2:5. Отрезки B B 1 и C C 1 пересекаются в точке D.…
82AC39B7Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Диагонали AD и BE пересекаются в точке M. Известно, что BCDM — параллелограмм. а) Докажите, что BC=DE. б) Найдите длину стороны AB, если известно, что DE=4,…
83AD5F64Отрезки AC и BD - диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 114 . Найдите величину вписанного угла ACB. Ответ дайте в градусах.
84B3890AВ трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. а) Докажите, что =. б) Диагонали трапеции ABCD…
85B3E586Площадь параллелограмма ABCD равна 60. Точка E - середина стороны AD. Найдите площадь треугольника ABE.
86B45F0CДиагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в…
87B4C261В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 107 . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
88B54D55Острый угол прямоугольного треугольника равен Найдите величину угла между биссектрисой и медианой проведёнными из вершины прямого угла Ответ дайте в градусах.
89B58CFAБиссектрисы углов BAD и BCD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O. На боковых сторонах AB и CD отмечены точки M и N соответственно так, что AM=MO, CN=NO. а) Докажите, что точки M, O и N…
90B5D2B2На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно. а) Докажите, что треугольники AEM и…
91BAD790В треугольнике ABC точки A 1, B 1 и C 1 - середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH - высота, =120, =15. а) Докажите, что точки A 1, B 1, C 1 и H лежат на одной окружности. б) Найдите A 1 H,…
92BC72B9Отрезки AC и BD - диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 16. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
93BE8FE4Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность…
94C5B743Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=8. Известно, что AB=BC=CD=12. а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны. б) Найдите AD.
95C7D60AЧетырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103 , угол CAD равен 42 . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
96C84642В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания - точка C 1, причём C C 1 - образующая…
97C87061В основании прямой призмы ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=3 и BC=2. Точка M делит ребро A 1 D 1 в отношении A 1 M:M D 1 =1:2, а точка K - середина ребра D D 1…
98CA58AEДве стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на бо́льшую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.
99CC7A9EУгол ACO равен 57 . Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Отрезок CO пересекает окружность в точке B (см. рисунок). Найдите градусную меру дуги AB окружности, заключённой внутри…
100CE4D1DЧетырёхугольник вписан в окружность. Угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.