Перейти к содержимому
EduSave

Прямые и плоскости в пространстве

ЕГЭ по математике (профильной) · 29 задач · открытый банк ФИПИ

решено верно решено неверно есть решение решение после проверки

До 10 случайных задач только этой темы · до 25 минут. Это тренировка, не полный вариант ЕГЭ/ОГЭ. Проверка ИИ может занять до минуты.

103B44BВ правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , . а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости…
204294CВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O - центр основания пирамиды, точка M - середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK:KC=3:1, а AB=2 и SO= 14 . а)…
30E8DDEВ правильном тетраэдре ABCD точки M и N - середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K. а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна…
4142CDCВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:2. Плоскость α…
5149319FВ основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=1:2. Через точку Т…
616C715Дана правильная четырёхугольная призма ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 . Плоскость α проходит через вершины B 1 и D и пересекает рёбра A A 1 и C C 1 в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник…
717B23FСечением прямоугольного параллелепипеда ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью α, содержащей прямую B D 1 и параллельной прямой AC, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD - квадрат. б) Найдите угол…
81F7CE6На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:MB=CN:NB=1:2. Точки P и Q - середины рёбер DA и DC соответственно. а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат…
930ED04В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку Т…
10429E53В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=5 2. а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=2:3.…
114679B2В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно . На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , . а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости . б)…
125D991DВ пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=6 2. а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA=DN:NC=1:2.…
13616CD3Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 4. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и…
14637C89В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины рёбер AB и SC соответственно. На продолжении ребра SB за точку S отмечена точка R. Прямые RM и RK пересекают рёбра AS и…
156F3F6DНа ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM:MD=2:1. Точки P и Q - середины рёбер BC и AD соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды…
1672412DВ основании прямой призмы ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=3 и BC=2. Точка M делит ребро A 1 D 1 в отношении A 1 M:M D 1 =1:2, а точка K - середина ребра D D 1…
17876DD3В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:3. Плоскость α…
188A0B46Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью α, содержащей прямую B D 1 и параллельной прямой AC, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD - квадрат. б) Найдите угол…
199A3AF9В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 8. Точка — середина ребра . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки и . Прямая пересекает плоскость в…
209B8297Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём + =90. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K - точка пересечения прямых AB и CD. а) Докажите, что…
21A47BE8В кубе ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 точки M и N - середины рёбер AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B 1 N и CM перпендикулярны. б) Плоскость α проходит через точки N и B 1 параллельно прямой CM.…
22BCEB84В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины рёбер AB и SC соответственно, а точки N и L отмечены на рёбрах SA и BC соответственно так, что отрезки MK и NL…
23C185DDОснованием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причём AB=2 2, BC=4. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на…
24C300DCВ прямоугольном параллелепипеде ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 известны длины рёбер: AB=6 2, AD=10, A A 1 =16. На рёбрах A A 1 и B B 1 отмечены точки E и F соответственно, причём A 1 E:EA=5:3 и B 1 F:FB=5:11.…
25E8E9A7В прямоугольном параллелепипеде ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 известны длины рёбер: AB=2 2, AD=6, A A 1 =10. На рёбрах A A 1 и B B 1 отмечены точки E и F соответственно, причём A 1 E:EA=3:2 и B 1 F:FB=3:7.…
26E95564На ребре A A 1 прямоугольного параллелепипеда ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 взята точка E так, что A 1 E:EA=1:2, на ребре B B 1 - точка F так, что B 1 F:FB=1:5, а точка Т - середина ребра B 1 C 1. Известно,…
27EA6B32В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB=5 и диагональю BD=9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS - точка F…
28F416AFВ правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 4. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . а) Точки и — центры окружностей, описанных около…
29F7B7A1В основании прямой треугольной призмы ABC A 1 B 1 C 1 лежит равнобедренный ( AB=BC ) треугольник ABC. Точка K - середина ребра A 1 B 1, а точка M делит ребро AC в отношении AM:MC=1:3. а) Докажите,…