Перейти к содержимому
EduSave

Фигуры на плоскости

ЕГЭ по математике (профильной) · 122 задач · открытый банк ФИПИ

решено верно решено неверно есть решение решение после проверки

До 10 случайных задач только этой темы · до 25 минут. Это тренировка, не полный вариант ЕГЭ/ОГЭ. Проверка ИИ может занять до минуты.

10005E9Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности с центром O, отрезок CO пересекает окружность в точке B (см. рис.), ** а дуга AB окружности, заключённая внутри этого угла, равна 17. Ответ…
2003F6EНа стороне BC треугольника ABC отмечена точка D так, что AB=BD. Биссектриса BF треугольника ABC пересекает прямую AD в точке E. Из точки C на прямую AD опущен перпендикуляр CK. а) Докажите, что…
30063EDВ остроугольном треугольнике ABC высоты A A 1 , B B 1 и C C 1 пересекаются в точке H. Через точку C 1 параллельно высоте B B 1 проведена прямая, пересекающая высоту A A 1 в точке K. а) Докажите, что…
400E23CДана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD. а) Докажите, что луч AC - биссектриса угла BAD. б) Найдите CD, если…
501BE6FНайдите величину центрального угла, если он на 69 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
60549EBВ основании прямой призмы ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A 1 B 1 , B 1 C 1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B 1 K:K C 1 =1:2. Четырёхугольник AMKN -…
7060A0AВ равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC. а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого. б) Найдите…
8065E0AВ правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 9. Точка лежит на ребре , , а точка лежит на ребре . Известно, что . а) Докажите, что плоскость перпендикулярна…
90B28A5В прямоугольном параллелепипеде ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 через середину M диагонали A C 1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB=5, BC=3, A A 1 =4. а) Докажите, что плоскость α содержит…
100BC5F1Окружность проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает продолжение стороны AD за точку D в точке E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K. а) Докажите, что…
1110D010Высоты B B 1 и C C 1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. а) Докажите, что B 1 C 1 = . б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC,…
1213D60BВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания - точки B 1 и C 1, причём B B 1 -…
1315EF35Т очка E - середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O. а) Докажите, что CO=KO. б) Найдите…
14182CF4В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с бо�ьшим основанием AD. Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Точки M и N - середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит…
151D76E2Точка M - середина ребра SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD. Точка N лежит на ребре SB, SN:NB=1:2. а) Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD. б) Найдите площадь…
161DD37AВ треугольнике сторона равна , угол равен Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
171F4550Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой…
1821628CУгол ACO равен 62. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Отрезок CO пересекает окружность в точке B (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AB окружности, заключённой внутри этого…
192412FAНа стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC. а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC. б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD…
20282EDCПлощадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E - середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
212AE241В треугольнике ABC точки A 1, B 1 и C 1 - середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH - высота, =60, =45. а) Докажите, что точки A 1, B 1, C 1 и H лежат на одной окружности. б) Найдите A 1 H, если…
222B52E7Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С 1 и В 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВ C подобен треугольнику АВ 1 С 1 б) Вычислите длину…
232EBDBFОкружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С 1 и В 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВ C подобен треугольнику АВ 1 С 1. б) Вычислите длину…
2430B4E7Центральный угол на 32 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
2534E1B6FСумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции.
263B468EВ треугольнике ABC угол A равен 120. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC. а) Докажите, что AH=AO.…
273B5E5DДве стороны треугольника равны 15 и 18. Высота, опущенная на бо�ьшую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон треугольника.
283C8708В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки…
293CDB1BОкружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С 1 и В 1 соответственно. а) Докажите, что треугольник АВ C подобен треугольнику АВ 1 С 1. б) Вычислите длину…
303CF402Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 61, угол CAD равен 37. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
313D4E60Центральный угол на 29 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите величину вписанного угла. Ответ дайте в градусах.
32416B0FВ цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания - точки B 1 и C 1, причём B B 1 -…
3341A5F8В треугольнике ABC угол A равен 120. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC. а) Докажите, что AH=AO.…
344E19FDВ трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы ABM и DCM прямые. а) Докажите, что AM=DM. б) Найдите угол BAD, если угол ADC равен 70, а…
354F4F44На сторонах , и треугольника отмечены точки , и соответственно, причём , , . Отрезки и пересекаются в точке . а) Докажите, что четырёхугольник — параллелограмм. б) Найдите радиус окружности,…
365259A1Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции.
3754E571В треугольнике ABC продолжения высоты C C 1 и биссектрисы B B 1 пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, ABC=40 ​ , ACB=85 ​ . а) Докажите, что BM=CN. б) Прямые BC и MN…
3856C211Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ=16, QW=12, угол PWQ - острый. а)…
3959978FВ четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10, CD=17. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.
405B3F1AПлощадь треугольника равна 24, — средняя линия, параллельная стороне . Найдите площадь трапеции .
415C56ECЧерез среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 36. Найдите площадь боковой…
425CBC00Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD. а) Докажите, что луч AC - биссектриса угла BAD. б) Найдите CD, если…
435E7BDEПрямая, проходящая через середину M гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, перпендикулярна CM и пересекает катет AC в точке K. При этом AK:KC=1:2. а) Докажите, что =30. б) Пусть прямые MK и…
44697AC9Стороны параллелограмма равны 18 и 20. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на бо�ьшую сторону параллелограмма.
456B82FFОкружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC — диаметр этой окружности. а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB. б) Найдите длину…
466C9E2AЧетырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 62 , угол CAD равен 41 . Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
47732EBFЧетырёхугольник ABCD вписан в окружность. ** Угол ABC равен 120 , угол ABD равен 43 . Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
4873BE23Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону BC в точках B и E и пересекает сторону CD в точках K и D. а) Докажите, что AE=AK. б) Найдите AD, если CE=10, DK=9 и…
4977C190В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания - точки B 1 и C 1, причём B B 1 -…
5078A6C2Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD в точке N, причём AM:MC=1:2, BN:ND=1:3. а) Докажите, что = 1 5. б) Найдите площадь ромба, если…